미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

서로소인 수의 합 급수

문제

자연수 nn에 대하여 2n2 ^{n}이하의 자연수 중에서 2n2 ^{n}과 서로소인 모든 자연수의 합을 SnS \mathit{_{n}}이라 하자. 이 때, ∑n=1∞9Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{9}{S \mathit{\mathrm{_{n}}}}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 무한급수를 이용하여 수학내적 문제해결하기 Sn={1+2+3+⋯+(2n−1)+2n}S \mathit{_{n}} = \left\{ 1 + 2 + 3 + \cdots + ( 2 ^{n} - 1 ) + 2 ^{n} \right\} −{2+4+6+⋯+(2n−2)+2n}- \left\{ 2 + 4 + 6 + \cdots + ( 2 ^{n} - 2 ) + 2 ^{n} \right\} =2n(1+2n)2−2n−1(2+2n)2\displaystyle = \frac{2 ^{n} \left( 1 + 2 ^{n} \right)}{2} - \frac{2 ^{n - 1} \left( 2 + 2 ^{n} \right)}{2} =2n−1(2n−2n−1)=4n−1= 2 ^{n - 1} \left( 2 ^{n} - 2 ^{n - 1} \right) = 4 ^{n - 1} ∴\therefore ∑n=1∞9Sn=91−14=12\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{9}{S \mathit{\mathrm{_{n}}}} = \frac{9}{1 - \frac{1}{4}} = 12

태그

#등비급수#서로소#등차수열의 합

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