서로소 조건 부분집합

[출제의도] 집합의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 집합의 개수를 구한다. $50 = 2 \times 5 ^{2}$이므로 집합 $B$의 모든 원소는 $2$의 배수도 아니고 $5$의 배수도 아니다. (나)에서 $X \cap B = \emptyset$이므로 집합 $X$의 모든 원소는 $2$의 배수이거나 $5$의 배수이어야 한다. (다)에서 $12 = 2 ^{2} \times 3$이므로 집합 $X$의 모든 원소는 $2$의 배수도 아니고 $3$의 배수도 아니다. 따라서 집합 $X$의 모든 원소는 $100$ 이하의 $5$의 배수 중에서 $2$의 배수도 아니고 $3$의 배수도 아닌 수이다. 따라서 집합 $X$의 원소가 될 수 있는 수는 $5$, $25$, $35$, $55$, $65$, $85$, $95$ 이다. (가)에서 집합 $X$는 집합 $\left\{ 5 , 25 , 35 , 55 , 65 , 85 , 95 \right\}$ 의 공집합이 아닌 부분집합이어야 하므로 집합 $X$의 개수는 $2 ^{7} - 1$$= 128 - 1$$= 127$ [다른 풀이] 집합 $A$를 전체집합으로 생각하자. (가)에서 $X \subset A$이므로 집합 $X$의 모든 원소는 $100$ 이하의 자연수이다. 집합 $A$의 부분집합 중에서 $2$의 배수의 집합을 $A _{2}$, $3$의 배수의 집합을 $A _{3}$, $5$의 배수의 집합을 $A _{5}$라 하자. (나)에서 $X \cap B = \emptyset$이고, $50 = 2 \times 5 ^{2}$이므로 집합 $X$의 모든 원소는 $2$의 배수이거나 $5$의 배수이다. 따라서 집합 $X$의 모든 원소는 $A _{2} \cup A _{5}$에 속한다. (다)에서 집합 $X$의 모든 원소는 $2$의 배수도 아니고 $3$의 배수도 아니다. 따라서 집합 $X$의 모든 원소는 $A _{2} ^{C} \cap A _{3} ^{C} = \left( A _{2} \cup A _{3} \right) ^{C}$에 속한다. (가), (나), (다)에서 집합 $X$의 모든 원소는 $\left( A _{2} \cup A _{5} \right) \cap ( A _{2} \cup A _{3} ) ^{C} = A _{5} - ( A _{2} \cup A _{3} )$에 속한다. 따라서 집합 $X$의 모든 원소는 $100$ 이하의 $5$의 배수 중에서 $2$의 배수도 아니고 $3$의 배수도 아닌 수이다.

그러므로 집합 $X$의 원소가 될 수 있는 수는 $5$, $25$, $35$, $55$, $65$, $85$, $95$이다. (가)에서 집합 $X$는 집합 $\left\{ 5 , 25 , 35 , 55 , 65 , 85 , 95 \right\}$ 의 공집합이 아닌 부분집합이어야 하므로 집합 $X$의 개수는 $2 ^{7} - 1$$= 128 - 1$$= 127$