서로 다른 분수의 개수 세기

실마리: 집합의 원소는 같은 값을 한 번만 세므로, 각 값을 기약분수로 나타내어 생각한다. $B$의 원소 $\displaystyle \frac{x}{y}$를 기약분수 $\displaystyle \frac{p}{q}$로 나타내면 어떤 자연수 $k$에 대하여 $x = kp$, $y = kq$이다. $x \leq 10$, $y \leq 10$이므로 $p \leq 10$, $q \leq 10$이다. 거꾸로 $p \leq 10$, $q \leq 10$이면 $x = p$, $y = q$로 잡을 수 있으므로 $\displaystyle \frac{p}{q}$는 $B$의 원소이다. 그러므로 $B$의 원소의 개수는 $p$와 $q$가 서로소인 순서쌍 $( p , q ) ( 1 \leq p \leq 10 , 1 \leq q \leq 10 )$의 개수와 같다. 분모 $q$의 값에 따라 조건을 만족시키는 $p$의 개수를 세면 $q = 1$일 때 $1$부터 $10$까지 모두이므로 $10$개 $q = 2$일 때 홀수이므로 $5$개 $q = 3$일 때 $3$의 배수가 아닌 수이므로 $7$개 $q = 4$일 때 홀수이므로 $5$개 $q = 5$일 때 $5$의 배수가 아닌 수이므로 $8$개 $q = 6$일 때 $1 , 5 , 7$이므로 $3$개 $q = 7$일 때 $7$이 아닌 수이므로 $9$개 $q = 8$일 때 홀수이므로 $5$개 $q = 9$일 때 $3$의 배수가 아닌 수이므로 $7$개 $q = 10$일 때 $1 , 3 , 7 , 9$이므로 $4$개 따라서 집합 $B$의 원소의 개수는 $10 + 5 + 7 + 5 + 8 + 3 + 9 + 5 + 7 + 4 = 63$