확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

서랍 배정과 기댓값

문제

$1$ 부터 $5$ 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 $5$ 개의 서랍이 있다. $5$ 개의 서랍 중 영희에게 임의로 $2$ 개를 배정해 주려고 한다. 영희에게 배정되는 서랍에 적혀 있는 자연수 중 작은 수를 확률변수 $X$ 라 할 때, ${\mathrm{E}} ( 10 X )$ 의 값을 구하시오. [4점]

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20

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해설

[출제의도] 이산확률분포를 구하여 평균을 구할 수 있는가? 5개 중 임의로 2개를 배정하는 전체 방법의 수는 $` _{5} C _{2} = 10$ ⅰ) $X = 1$ 인 경우 배정된 서랍의 번호를 순서쌍으로 나타내면 $( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 )$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 1 ) = \frac{4}{10}$ ⅱ) $X = 2$ 인 경우 $( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 )$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 2 ) = \frac{3}{10}$ ⅲ) $X = 3$ 인 경우 $( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 )$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 3 ) = \frac{2}{10}$ ⅳ) $X = 4$ 인 경우 $( 4 , 5 )$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 4 ) = \frac{1}{10}$ ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에서 확률변수 $X$ 의 확률분포는

$X$	1	2	3	4	계
$\mathrm{P} \mathit{(} X )$	$\displaystyle \frac{4}{10}$	$\displaystyle \frac{3}{10}$	$\displaystyle \frac{2}{10}$	$\displaystyle \frac{1}{10}$	$1$

$\displaystyle \therefore E ( \mathit{X} ) = 1 \times \frac{4}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{2}{10} + 4 \times \frac{1}{10} = 2$ $\therefore E \mathit{(} 10 X ) = 10 \times \mathrm{E} \mathit{(} X ) = 20$

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