확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

선형관계 정규분포

문제

정규분포 N(80,52){\mathrm{N}} \left( 80 , 5 ^{2} \right)을 따르는 확률변수 XX와 정규분포를 따르는 확률변수 YY가

zzP(0≤Z≤z){\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq z \right)
0.5{\mathrm{0.5}}0.1915{\mathrm{0.1915}}
1.0{\mathrm{1.0}}0.3413{\mathrm{0.3413}}
1.5{\mathrm{1.5}}0.4332{\mathrm{0.4332}}
2.0{\mathrm{2.0}}0.4772{\mathrm{0.4772}}

2X+Y=a2 X + Y = a 를 만족시킨다. P(b≤X≤75)=0.1359{\mathrm{P}} \left( b \leq X \leq 75 \right) = 0.1359 P(a−160≤Y≤b)=0.4332{\mathrm{P}} \left( a - 160 \leq Y \leq b \right) = 0.4332 일 때, 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 상수이다.) [4점]

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285

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해설

확률변수 XX가 정규분포 N(80,52){\mathrm{N}} \left( 80 , 5 ^{2} \right)을 따르므로 ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 P(b≤X≤75){\mathrm{P}} \left( b \leq X \leq 75 \right)=P(b−805≤Z≤75−805)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{b - 80}{5} \leq Z \leq \frac{75 - 80}{5} \right) =P(b−805≤Z≤−1)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{b - 80}{5} \leq Z \leq - 1 \right) =P(1≤Z≤80−b5)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( 1 \leq Z \leq \frac{80 - b}{5} \right) =P(0≤Z≤80−b5)−P(0≤Z≤1)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq \frac{80 - b}{5} \right) - {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq 1 \right) =P(0≤Z≤80−b5)−0.3413=0.1359\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq \frac{80 - b}{5} \right) - 0.3413 = 0.1359 P(0≤Z≤80−b5)=0.4772\displaystyle {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq \frac{80 - b}{5} \right) = 0.4772 주어진 표준정규분포표를 이용하면 P(0≤Z≤2)=0.4772{\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq 2 \right) = 0.4772이므로 80−b5=2\displaystyle \frac{80 - b}{5} = 2, b=70b = 70 Y=−2X+aY = - 2 X + a이므로 P(a−160≤Y≤b){\mathrm{P}} \left( a - 160 \leq Y \leq b \right) =P(a−160≤−2X+a≤70)= {\mathrm{P}} \left( a - 160 \leq - 2 X + a \leq 70 \right) =P(a−702≤X≤80)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{a - 70}{2} \leq X \leq 80 \right) =P(a−702−805≤Z≤80−805)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{\frac{a - 70}{2} - 80}{5} \leq Z \leq \frac{80 - 80}{5} \right) =P(a−23010≤Z≤0)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{a - 230}{10} \leq Z \leq 0 \right) =P(0≤Z≤230−a10)=0.4332\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq \frac{230 - a}{10} \right) = 0.4332 주어진 표준정규분포표를 이용하면 P(0≤Z≤1.5)=0.4332{\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq 1.5 \right) = 0.4332이므로 230−a10=1.5\displaystyle \frac{230 - a}{10} = 1.5, a=215a = 215 따라서 a+b=215+70=285a + b = 215 + 70 = 285 [다른 풀이] 확률변수 XX가 정규분포 N(80,52){\mathrm{N}} \left( 80 , 5 ^{2} \right)을 따르므로 Y=−2X+aY = - 2 X + a에서 E(Y){\mathrm{E}} \left( Y \right)=E(−2X+a)= {\mathrm{E}} \left( - 2 X + a \right)=−2E(X)+a= - 2 {\mathrm{E}} \left( X \right) + a=−160+a= - 160 + a σ(Y)\sigma \left( Y \right)=σ(−2X+a)= \sigma \left( - 2 X + a \right)=2σ(X)= 2 \sigma \left( X \right)=10= 10 이므로 확률변수 Y=−2X+aY = - 2 X + a는 정규분포 N(a−160,102){\mathrm{N}} \left( a - 160 , 10 ^{2} \right)을 따른다. P(a−160≤Y≤b){\mathrm{P}} \left( a - 160 \leq Y \leq b \right) =P(a−160≤Y≤70)= {\mathrm{P}} \left( a - 160 \leq Y \leq 70 \right) =P((a−160)−(a−160)10≤Z≤70−(a−160)10)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{\left( a - 160 \right) - \left( a - 160 \right)}{10} \leq Z \leq \frac{70 - \left( a - 160 \right)}{10} \right) =P(0≤Z≤230−a10)=0.4332\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq \frac{230 - a}{10} \right) = 0.4332 주어진 표준정규분포표를 이용하면 P(0≤Z≤1.5)=0.4332{\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq 1.5 \right) = 0.4332이므로 230−a10=1.5\displaystyle \frac{230 - a}{10} = 1.5, a=215a = 215 따라서 a+b=215+70=285a + b = 215 + 70 = 285

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