기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

선분의 정사영 길이

문제

좌표공간에 네 점 A(3,0,0){\mathrm{A}} ( 3 , 0 , 0 ) , B(0,3,0){\mathrm{B}} ( 0 , 3 , 0 ) , C(0,2,1){\mathrm{C}} ( 0 , 2 , 1 ) , D(0,−52,−2)\displaystyle {\mathrm{D}} \left( 0 , - \frac{5}{2} , - 2 \right)가 있다. 선분 CD{\mathrm{CD}}를 2:12 : 1로 내분하는 점을 E\mathrm{E}라 할 때, 선분 AE{\mathrm{AE}}의 평면 ABC{\mathrm{ABC}} 위로의 정사영의 길이는? [4점] ①66\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}②63\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}③62\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}④263\displaystyle \frac{2 \sqrt{6}}{3}⑤566\displaystyle \frac{5 \sqrt{6}}{6}

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④

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해설

평면 ABC\mathrm{ABC}의 방정식을 ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0이라 하면 세 점 A,B,C\mathrm{A} , B , C가 이 평면 위의 점이므로 {3a+d=03b+d=02b+c+d=0\displaystyle {\begin{cases} 3 a + d = 0 \\ 3 b + d = 0 \\ 2 b + c + d = 0 \end{cases}} 이를 이용하여 평면 ABC\mathrm{ABC}의 방정식을 구하면 x+y+z−3=0x + y + z - 3 = 0 또한 점 E\mathrm{E}의 좌표는 (0,2×(−52)+1×23,2×(−2)+1×(1)3)\displaystyle \left( 0 , \frac{2 \times \left( - \frac{5}{2} \right) + 1 \times 2}{3} , \frac{2 \times \left( - 2 \right) + 1 \times \left( 1 \right)}{3} \right)=(0,−1,−1)= \left( 0 , - 1 , - 1 \right) 점 E\mathrm{E}의 평면 ABC\mathrm{ABC}로의 정사영을 E′\mathrm{E}'이라 하면 점과 평면 사이의 거리에 의하여 EE′‾=53\displaystyle {\overline{\mathrm{EE}'}} = \frac{5}{\sqrt{3}}이고 AE‾=11\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \sqrt{11}이다. 따라서 직각삼각형 AEE′\mathrm{AEE}'에서 AE′‾=11−253=236\displaystyle \overline{\mathrm{AE}'} = \sqrt{11 - \frac{25}{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{6}

태그

#정사영#점과 평면 사이 거리

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