기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

선분의 정사영 길이

문제

좌표공간에 평면 α\alpha가 있다. 평면 α\alpha 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}의 평면 α\alpha 위로의 정사영을 각각 A′{\mathrm{A}} \mathit{'}, B′{\mathrm{B}} \mathit{'}이라 할 때, AB‾=A′B′‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{B} \mathit{'}}} = 6 이다. 선분 AB{\mathrm{AB}}의 중점 M{\mathrm{M}}의 평면 α\alpha 위로의 정사영을 M′{\mathrm{M}} \mathit{'}이라 할 때, PM′‾⊥A′B′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PM} \mathit{'}}} \perp {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{B} \mathit{'}}}, PM′‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{PM} \mathit{'}}} = 6 이 되도록 평면 α\alpha 위에 점 P{\mathrm{P}}를 잡는다. 삼각형 A′B′P{\mathrm{A}} \mathit{'} {\mathrm{B}} \mathit{'} {\mathrm{P}}의 평면 ABP{\mathrm{ABP}} 위로의 정사영의 넓이가 92\displaystyle \frac{9}{2}일 때, 선분 PM\mathrm{PM}의 길이는? [3점] ①12\mathrm{12}②15\mathrm{15}③18\mathrm{18}④21\mathrm{21}⑤24\mathrm{24}

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⑤

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해설

AB‾=A′B′‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = {\overline{A' B'}} = 6이므로 직선 AB\mathrm{AB}와 직선 A′B′\mathrm{A}' B'은 평행하다.

정사영의 정의에 의해 직선 AA′\mathrm{AA}', 직선 BB′\mathrm{BB}'은 평면 α\alpha에 수직이므로 직선 MM′\mathrm{MM}'도 평면 α\alpha에 수직이다. PM′‾⊥A′B′‾\displaystyle \mathrm{\overline{PM'}} \perp {\overline{A' B'}}이므로 삼수선의 정리에 의해 PM′‾⊥MM′‾\displaystyle \mathrm{\overline{PM'}} \perp {\overline{MM'}} ∠MPM′=θ\mathrm{\angle} MPM' = \theta라 하면 △PA′B′×cos⁡θ=92\displaystyle \mathrm{\triangle} PA' B' \times \cos \theta = \frac{9}{2} △PA′B′=12×6×6=18\displaystyle \mathrm{\triangle} PA' B' = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18이므로 cos⁡θ=14\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{4} PM‾×cos⁡θ=PM′‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} \times \cos \theta = {\overline{PM'}} = 6에서 PM‾=24\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = 24

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#정사영

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