대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

선분으로 나눈 영역

문제

영희는 선분으로 도화지를 몇 개의 영역으로 분할하고, 각 영역에 한 가지 색으로 칠한 구성 작품을 만들려고 한다. 그림과 같이 도화지에 33개의 선분을 그렸더니, 도화지가 77개의 영역으로 분할되어 77가지 색을 칠한 작품을 만들 수 있었다. 2929가지 색을 칠한 구성 작품을 만들려면 도화지에 최소한 몇 개의 선분을 그려야 하는가? (단, 선분의 시작과 끝은 항상 도화지의 가장자리이다.) [4점]

①55개②66개③77개④88개⑤99개

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③

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해설

[출제의도] 실생활과 관련된 상황을 수열과 관계지어 문제를 해결한다. nn개의 선분으로 분할되는 영역의 수의 최대값을 ana _{n}이라 하면, {an}\left\{ a _{n} \right\} : 2,4,7,11,⋯2 , 4 , 7 , 11 , \cdots an=2+(2+3+⋯+n)=1+n(n+1)2\displaystyle a _{n} = 2 + ( 2 + 3 + \cdots + n ) = 1 + \frac{n ( n + 1 )}{2} 따라서 kk개의 선분으로 분할된 영역의 수가 최소한 2929이려면 ak≥29a _{k} \geq 29 1+k(k+1)2≥29\displaystyle 1 + \frac{k ( k + 1 )}{2} \geq 29 ∴ k≥7k \geq 7 따라서 선분을 최소한 7개 그려야 한다.

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