대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

선분 길이의 합

문제

그림과 같이 두 직선 y=xy = x, y=a(x−1)y = a ( x - 1 ) (a>1a > 1)의 교점에서 오른쪽 방향으로 yy축에 평행한 1414개의 선분을 같은 간격으로 그었다.

이들 중 가장 짧은 선분의 길이는 33이고, 가장 긴 선분의 길이는 4242일 때, 1414개의 선분의 길이의 합을 구하시오. (단, 각 선분의 양 끝점은 두 직선 위에 있다.) [3점]

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315

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해설

[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 선분의 길이의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. xx좌표가 tt인 점에서 선분의 길이를 f(t)f ( t )라 하면 선분의 길이는 두 직선의 yy의 값의 차이므로 f(t)=a(t−1)−tf ( t ) = a ( t - 1 ) - t=at−a−t= at - a - t=(a−1)t−a= ( a - 1 ) t - a 그러므로 주어진 1414개의 선분의 길이는 등차수열을 이룬다. 따라서 구하는 선분의 길이의 합은 14(3+42)2=315\displaystyle \frac{14 ( 3 + 42 )}{2} = 315 [참고] 일차함수 f(x)=ax+bf ( x ) = ax + b에서 xx의 값들이 등차수열을 이루면 f(x)f ( x )의 값들도 등차수열을 이룬다.

태그

#등차수열의 합

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