미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

선분 길이 순간변화율

문제

곡선 C:x2+y2=100(y≥0)C : x ^{2} + y ^{2} = 100 ( y \geq 0 ) 과 곡선 CC의 접선 y=−3x+20\displaystyle y = - \sqrt{3} x + 20 이 있다. 곡선 CC 위의 점 P\mathrm{P}에서 yy축에 평행한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 점 P\mathrm{P}가 점 A(10,0)\mathrm{A} \left( 10 , 0 \right)을 출발하여 곡선 위를 매초 55의 일정한 속력으로 점 B(−10,0)\mathrm{B} \left( - 10 , 0 \right)까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이의 순간변화율의 최댓값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 속도와 가속도를 이용하여 수학내적 문제해결하기

∠AOP=θ\angle \mathrm{AOP} = \theta라 하면 호의 길이 l=10θl = 10 \theta 점 P(10cos⁡θ,10sin⁡θ)\mathrm{P} \mathit{\left( 10 \cos \theta , 10 \sin \theta \right)}가 매초 55의 일정한 속력으로 이동하므로 양변을 시각 tt에 대해 미분하면 dldt=10dθdt=5\displaystyle \frac{dl}{dt} = 10 \frac{d \theta}{dt} = 5, dθdt=12\displaystyle \frac{d \theta}{dt} = \frac{1}{2} PQ‾=L=20−103cos⁡θ−10sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = L = 20 - 10 \sqrt{3} \cos \theta - 10 \sin \theta 따라서 LL을 시각 tt에 대해 미분하면 dLdt=(103sin⁡θ−10cos⁡θ)dθdt=10sin⁡(θ−π6)\displaystyle \begin{aligned} \frac{dL}{dt} & = \left( 10 \sqrt{3} \sin \theta - 10 \cos \theta \right) \frac{d \theta}{dt} \\ & = 10 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right) \end{aligned} 따라서 θ=2π3\displaystyle \theta = \frac{2 \pi}{3}일 때, 최댓값은 1010

태그

#속도와 변화율#삼각함수 합성

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