확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

선분 길이 기댓값

문제

[13 ~ 14] 그림과 같이 곡선 $y = 2 ^{x}$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$ , 곡선 $y = \log _{2} x$ 가 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 또, 직선 $y = - x + k$ 가 두 곡선 $y = 2 ^{x}$ , $y = \log _{2} x$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 점 $\mathrm{C}$ 의 $x$ 좌표라고 할 때, 선분 $\mathrm{CD}$ 의 길이의 기댓값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{33 \sqrt{2}}{2}$ ② $\displaystyle \frac{35 \sqrt{2}}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{37 \sqrt{2}}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{39 \sqrt{2}}{2}$ ⑤ $\displaystyle \frac{41 \sqrt{2}}{2}$

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②

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해설

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 통해 주어진 이산확률변수의 기댓값을 구한다. 주사위의 눈의 수를 $n$ 이라 하면 $\mathrm{C} ( \mathit{n} , 2 ^{n} )$ , $\mathrm{D} ( \mathit{2} ^{\mathit{n}} , n )$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{( 2 ^{n} - n ) ^{2} + ( n - 2 ^{n} ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{2} \left( 2 ^{n} - n \right)$ $1$ 부터 $6$ 까지의 값을 가지는 $n$ 에 대하여 선분 $\mathrm{CD}$ 의 길이 $X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$n$	$1$	$2$	$\cdots$	$6$	계
$X$	$\displaystyle \sqrt{2} \left( 2 ^{1} - 1 \right)$	$\displaystyle \sqrt{2} \left( 2 ^{2} - 2 \right)$	$\cdots$	$\displaystyle \sqrt{2} \left( 2 ^{6} - 6 \right)$	계
$\mathrm{P} ( \mathit{X} = x )$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\cdots$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$1$

따라서 $X$ 의 기댓값은 $\mathrm{E} ( \mathit{X} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{6} \sqrt{2} ( 2 ^{n} - n ) \times \frac{1}{6}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{6} \left\{ \frac{2 ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1} - \frac{6 \times 7}{2} \right\}$ $\displaystyle = \frac{35 \sqrt{2}}{2}$

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