대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

세균 증식 로그 활용

문제

시간이 지남에 따라 일정한 비율로 늘어나는 두 종류의 세균 AA, BB가 있다. AA는 33시간이 지날 때마다 그 수가 22배로 늘어나고, BB는 55시간이 지날 때마다 33배로 늘어난다. AA세균 100100마리와 BB세균 10001000마리를 동시에 배양하기 시작하였을 때, AA의 수가 BB의 수 이상이 되도록 배양하는데 걸리는 최소의 시간은? (단, log⁡102=0.30\log _{10} 2 = 0.30, log⁡103=0.48\log _{10} 3 = 0.48로 계산한다.) [4점] ①250250②270270③290290④310310⑤330330

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①

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해설

[출제의도] 실생활에서 상용로그를 이용하여 최소시간 구하기 시간을 tt라 하면 AA는 33시간마다 22배씩 증가하므로 tt시간 후에는 2t3\displaystyle 2 ^{\frac{t}{3}}배, BB는 55시간마다 33배씩 증가하므로 tt시간 후에는 3t5\displaystyle 3 ^{\frac{t}{5}}배이다. 100⋅2t3≥1000⋅3t5\displaystyle 100 \cdot 2 ^{\frac{t}{3}} \geq 1000 \cdot 3 ^{\frac{t}{5}} 양변에 상용로그를 취하면 t3log⁡2≥1+t5log⁡3\displaystyle \frac{t}{3} \log 2 \geq 1 + \frac{t}{5} \log 3 (5log⁡2−3log⁡3)t≥15( 5 \log 2 - 3 \log 3 ) t \geq 15 t≥155×0.30−3×0.48=250\displaystyle t \geq \frac{15}{5 \times 0.30 - 3 \times 0.48} = 250

태그

#상용로그#활용

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