세 원과 삼각형 넓이 최대

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 활용하여 문제 해결하기

$\displaystyle y = - \frac{4}{3} x$

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하기 위해 직선의 방정식 $\displaystyle y = - \frac{4}{3} x$와 원 $C _{1}$의 방정식 $x ^{2} + y ^{2} = a ^{2}$을 연립하면 $\displaystyle x ^{2} = \left( \frac{3}{5} a \right) ^{2}$ 점 $\mathrm{P}$는 제$2$사분면 위의 점이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( - \frac{3}{5} a , \frac{4}{5} a \right)$ 직선 $l _{1}$과 원 $C _{2}$가 만나는 점의 $y$좌표는 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표와 같으므로 $b - a$$\displaystyle = \frac{4}{5} a$ $\displaystyle b = \frac{9}{5} a$ 점 $\mathrm{P}$에서 원 $C _{2}$에 그은 두 접선의 길이가 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \frac{\mathit{9}}{5} a - \left( - \frac{3}{5} a \right) = \frac{12}{5} a$ 직선 $l _{2}$의 기울기를 $m$이라 할 때, 직선 $l _{2}$의 방정식은 $\displaystyle y = m \left( x + \frac{3}{5} a \right) + \frac{4}{5} a$ $5 mx - 5 y + \left( 3 m + 4 \right) a = 0$ 원 $C _{2}$의 중심 $\displaystyle \left( \frac{9}{5} a , 0 \right)$과 직선 $l _{2}$ 사이의 거리는 원 $C _{2}$의 반지름의 길이와 같다. $\displaystyle \frac{\left| 5 m \times \frac{9}{5} a + \left( 3 m + 4 \right) a \right|}{\sqrt{\left( 5 m \right) ^{2} + \left( - 5 \right) ^{2}}} = \frac{4}{5} a$ $\displaystyle \left| 12 m + 4 \right| = 4 \sqrt{m ^{2} + 1}$ $\displaystyle \left| 3 m + 1 \right| = \sqrt{m ^{2} + 1}$ $9 m ^{2} + 6 m + 1 = m ^{2} + 1$ $m \left( 4 m + 3 \right) = 0$ $m \ne 0$이므로 $\displaystyle m = - \frac{3}{4}$ 따라서 직선 $l _{2}$의 방정식은 $15 x + 20 y - 7 a = 0$

원 $C _{3}$의 중심을 $\mathrm{O}'$이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{O}' \mathit{\left( \frac{4}{5} a , 0 \right)}$과 직선 $l _{2}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 15 \times \frac{4}{5} a - 7 a \right|}{\sqrt{15 ^{2} + 20 ^{2}}} = \frac{5 a}{25} = \frac{1}{5} a$ 점 $\mathrm{R}$에서 직선 $l _{2}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면, 직선 $\mathrm{RH}$가 점 $\mathrm{O}'$을 지날 때 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이가 최대이다. 그러므로 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{12}{5} a \times \left( \frac{1}{5} a + \frac{9}{5} a \right) = \frac{12}{5} a ^{2} = 240$ $a = 10$, $\displaystyle b = \frac{9}{5} \times 10 = 18$ 따라서 $a + b = 28$