세 원기둥 정사영

세 점 $\mathrm{P} , Q , R$에서 $\alpha$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{A} , B , C$라 하면 $\mathrm{\triangle} ABC$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$인 정삼각형이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = 8 , \overline{\mathrm{BQ}} = a , \overline{\mathrm{CR}} = b$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{12 + ( a - 8 ) ^{2}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = \sqrt{12 + \left( b - a \right) ^{2}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{RP}} = \sqrt{12 + ( b - 8 ) ^{2}}$이고 $( b - 8 ) ^{2} > ( b - a ) ^{2}$, $( b - 8 ) ^{2} > ( a - 8 ) ^{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{RP}} > \overline{PQ}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{RP}} > \overline{QR}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{PQ}} = \overline{QR}$이고 $a - 8 = b - a \cdots \cdots \text{㉠}$ $a = 8 + t , b = 8 + 2 t$라 하면 $( t > 0 )$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{QR}} = \sqrt{12 + t ^{2}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = \sqrt{12 + 4 t ^{2}} = 2 \sqrt{t ^{2} + 3}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{QM}} \perp \overline{PR}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QM}} = \sqrt{12 + t ^{2} - ( t ^{2} + 3 )} = 3$ $\displaystyle \therefore \triangle \mathrm{PQR} = 3 \sqrt{t ^{2} + 3}$ $\mathrm{\triangle} PQR \times \cos 60 ^\circ = \mathrm{\triangle} ABC$에서 $\displaystyle \frac{3}{2} \sqrt{t ^{2} + 3} = 3 \sqrt{3}$ 따라서 $a = 11 , b = 14$이고 $a + b = 25$ [다른 풀이] $\displaystyle \overline{PR}$이 최대이므로 $\triangle PQR$이 이등변삼각형이 되려면 $\displaystyle \overline{PQ} = \overline{QR}$ $a - 8 = c$라 놓으면 $\displaystyle \overline{PQ} = \overline{QR} = \sqrt{12 + c ^{2}}$ 그리고 $b - 8 = 2 c$이므로 $\displaystyle \overline{PR} = \sqrt{12 + 4 c ^{2}}$ $\triangle P' Q' R' = \triangle PQR \cos 60 ^{\circ}$이므로 $\displaystyle \triangle PQR = \frac{\triangle P' Q' R'}{\cos 60 ^{\circ}} = 2 \triangle P' Q' R'$ $\displaystyle = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} ( 2 \sqrt{3} ) ^{2} = 6 \sqrt{3}$ $\angle PQR = \theta$라 놓으면 $\displaystyle \triangle PQR = \frac{1}{2} \overline{PQ} \overline{QR} \sin \theta = \frac{1}{2} ( 12 + c ^{2} ) \sin \theta = 6 \sqrt{3}$ $\displaystyle \therefore \sin \theta = \frac{12 \sqrt{3}}{12 + c ^{2}}$ 또 $\triangle PQR$에서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\overline{PQ} ^{2} + \overline{QR} ^{2} - \overline{PR} ^{2}}{2 \overline{PR} \overline{QR}}$ $\displaystyle = \frac{12 + c ^{2} + 12 + c ^{2} - 12 - 4 c ^{2}}{2 ( 12 + c ^{2} )} = \frac{6 - c ^{2}}{12 + c ^{2}}$ $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$을 이용하면 $\displaystyle \frac{432}{( 12 + c ^{2} ) ^{2}} + \frac{( 6 - c ^{2} ) ^{2}}{( 12 + c ^{2} ) ^{2}} = 1$ $432 + 36 - 12 c ^{2} + c ^{4} = 144 + 24 c ^{2} + c ^{4}$ $\alpha$

$\displaystyle 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle 2 \sqrt{3}$ $P'$ $R'$ $Q'$ $\therefore c ^{2} = 9 \leftrightarrow c = 3$ $\therefore a - 8 = 3 , b - 8 = 6 \leftrightarrow a = 11 , b = 14$ $\therefore a + b = 25$