세 포물선의 교점

포물선 $y ^{2} = 8 x$의 준선의 방정식은 $x = - 2$이다. 포물선 $y ^{2} = - x$의 준선의 방정식은 $\displaystyle x = \frac{1}{4}$이다. 점 ${\mathrm{P}}$의 $x$좌표를 $s$라 하면 점 ${\mathrm{P}}$는 포물선 $x ^{2} = ay$ 위의 점이므로 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( s , \frac{1}{a} s ^{2} \right)$ 점 ${\mathrm{Q}}$의 $x$좌표를 $t$라 하면 점 ${\mathrm{Q}}$는 포물선 $x ^{2} = ay$ 위의 점이므로 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( t , \frac{1}{a} t ^{2} \right)$ 직선 ${\mathrm{PQ}}$의 기울기가 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\frac{1}{a} s ^{2} - \frac{1}{a} t ^{2}}{s - t} = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle \frac{1}{a} \left( s + t \right) = 2 \sqrt{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 ${\mathrm{P}}$는 포물선 $y ^{2} = 8 x$ 위의 점이므로 $\displaystyle \left( \frac{1}{a} s ^{2} \right) ^{2} = 8 s$, $s ^{3} = 8 a ^{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ 점 ${\mathrm{Q}}$는 포물선 $y ^{2} = - x$ 위의 점이므로 $\displaystyle \left( \frac{1}{a} t ^{2} \right) ^{2} = - t$, $t ^{3} = - a ^{2}$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에서 $s ^{3} = - 8 t ^{3}$, $s = - 2 t$, $\displaystyle t = - \frac{1}{2} s$ ㉠에서 $\displaystyle \frac{s}{2 a} = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle s = 4 \sqrt{2} a$ ㉡에서 $\displaystyle \left( 4 \sqrt{2} a \right) ^{3} = 8 a ^{2}$, $\displaystyle a = \frac{1}{16 \sqrt{2}}$ $\displaystyle s = \frac{1}{4}$, $t$$\displaystyle = - \frac{1}{8}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{_{1}} \mathrm{P}}} + {\overline{\mathrm{F} \mathit{_{2}} \mathrm{Q}}}$$\displaystyle = \left| s - \left( - 2 \right) \right| + \left| \frac{1}{4} - t \right|$ $\displaystyle = \left| \frac{1}{4} - \left( - 2 \right) \right| + \left| \frac{1}{4} - \left( - \frac{1}{8} \right) \right| = \frac{21}{8}$ 이므로 $p = 8$, $q = 21$ $p + q = 8 + 21 = 29$