세 점과 평면 거리 보기

[출제의도] 공간에서 점, 직선, 평면의 위치 관계를 활용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있는가? ㄱ. 평면 $\alpha$와 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 지나는 평면의 교선을 $l$이라 하자. 점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\alpha$와 교선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} _{1}$, $\mathrm{H} _{2}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH _{1}}} \leq \overline{AH _{2}}$ 즉, 점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\alpha$에 이르는 거리는 평면 $\alpha$와 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 지나는 평면이 수직일 때 최대이다.

마찬가지로 두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$에서 평면 $\alpha$에 이르는 거리는 평면 $\alpha$와 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 지나는 평면이 수직일 때 최대이다. 따라서 평면 $\alpha$ 중에서 $d \left( \alpha \right)$가 최대가 되는 평면을 $\beta$라 하면 평면 $\beta$는 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 지나는 평면과 수직일 때 최대이다. (참) ㄴ. $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \leq \overline{AC}$라 하자. 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 평면 $\alpha$가 점 $\mathrm{M}$을 지날 때 $d \left( \alpha \right)$는 최대이다. 즉, 평면 $\beta$는 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 지난다. 마찬가지로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \leq \overline{BC}$일 때에는 평면 $\beta$는 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 지난다. (참) ㄷ. $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \sqrt{\left( 2 - 2 \right) ^{2} + \left( - 1 - 3 \right) ^{2} + \left( 0 - 0 \right) ^{2}} = 4$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \sqrt{\left( 2 - 0 \right) ^{2} + \left( - 1 - 1 \right) ^{2} + \left( 0 - 0 \right) ^{2}} = 2 \sqrt{2}$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \leq \overline{AC}$이므로 $d \left( \beta \right)$는 점 $\mathrm{B}$와 평면 $\beta$ 사이의 거리와 같다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.