확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

세 구슬 중간값 확률

문제

$10$ 개의 구슬이 들어있는 주머니가 있다. $10$ 개의 구슬 각각에는 $1$ 부터 $10$ 까지 서로 다른 자연수가 하나씩 적혀 있다. 이 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 집어넣는 시행을 세 번 반복하여 첫 번째 나온 수를 $a$ , 두 번째 나온 수를 $b$ , 세 번째 나온 수를 $c$ 라 하자. 다음과 같은 규칙으로 $X$ 를 정할 때, $X = 5$ 일 확률은? [4점] [규칙 1] $a , b , c$ 가 모두 다르면 중간 크기의 수를 $X$ 라 한다. [규칙 2] $a , b , c$ 중에서 두 개 이상이 같으면 같은 수를 $X$ 라 한다.

① $\displaystyle \frac{18}{125}$ ② $\displaystyle \frac{37}{250}$ ③ $\displaystyle \frac{19}{125}$ ④ $\displaystyle \frac{39}{250}$ ⑤ $\displaystyle \frac{4}{25}$

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②

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해설

i) $a , b , c$ 가 모두 다른 경우 5는 반드시 포함되어야 하기 때문에 우선 1, 2, 3, 4 중 한 개의 수와 6, 7, 8, 9, 10 중 한 개의 수를 선택해야 한다. 선택하는 경우의 수는 $4 \times 5 = 20$ 이고 세 수를 $a , b , c$ 에 배분하는 경우의 수는 $3 ! = 6$ 이므로 총 120가지의 경우가 생긴다. ii) $a , b , c$ 중 2개의 수가 같은 경우 $X$ 가 $5$ 이여야 하므로 $5$ 가 2번 등장하고 나머지 숫자 중 한 개를 뽑으면 된다. 나머지 숫자중 1개를 뽑는 경우의 수가 9가지이고 같은것이 2개 포함된 3개의 숫자를 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} = 3$ 이므로 총 27가지의 경우가 생긴다. iii) $a = b = c = 5$ 인 경우 : 1가지 $\therefore$ 확률 $\displaystyle = \frac{120 + 27 + 1}{10 ^{3}} = \frac{37}{250}$

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