세 공의 수 조건부확률

[출제의도] 조건부확률을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 확률을 구할 수 있는가? $b - a \geq 5$인 사건을 $E$, $c - a \geq 10$인 사건을 $F$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P} ( \mathit{F} | E )$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} ( \mathit{E} \cap F )}{\mathrm{P} ( \mathit{E} )}$이다. 모든 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 ${} _{12} \mathrm{C} _{3}$$= 220$ 이때 $b - a \geq 5$를 만족시키는 순서쌍 $( a , b )$는 $( 1 , 6 )$, $( 1 , 7 )$, $( 1 , 8 )$, $\cdots$, $( 1 , 11 )$ $( 2 , 7 )$, $( 2 , 8 )$, $\cdots$, $( 2 , 11 )$ $\vdots$ $( 6 , 11 )$ $a$$= 1$일 때 $c$의 개수는 $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$$= 21$ $a$$= 2$일 때 $c$의 개수는 $5 + 4 + 3 + 2 + 1$$= 15$ $a$$= 3$일 때 $c$의 개수는 $4 + 3 + 2 + 1$$= 10$ $a$$= 4$일 때 $c$의 개수는 $3 + 2 + 1$$= 6$ $a$$= 5$일 때 $c$의 개수는 $2 + 1$$= 3$ $a$$= 6$일 때 $c$의 개수는 $1$ 이므로 $b - a \geq 5$를 만족시키는 모든 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 $21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1$$= 56$ 즉, $\mathrm{P} ( \mathit{E} )$$\displaystyle = \frac{56}{220}$$\displaystyle = \frac{14}{55}$ 한편, $b - a \geq 5$이고 $c - a \geq 10$인 경우는 $a$$= 1$, $c$$= 11$일 때 $b$$= 6$, $7$, $8$, $9$, $10$ $a$$= 1$, $c$$= 12$일 때 $b$$= 6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ $a$$= 2$, $c$$= 12$일 때 $b$$=$$7$, $8$, $9$, $10$, $11$ 이므로 $b - a \geq 5$이고 $c - a \geq 10$인 모든 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 $5 + 6 + 5$$= 16$ 즉, $\mathrm{P} ( \mathit{E} \cap F )$$\displaystyle = \frac{16}{220}$$\displaystyle = \frac{4}{55}$ 따라서 $\mathrm{P} ( \mathit{F} | E )$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} ( \mathit{E} \cap F )}{\mathrm{P} ( \mathit{E} )}$$\displaystyle = \frac{\frac{4}{55}}{\frac{14}{55}}$$\displaystyle = \frac{2}{7}$ 즉, $p$$= 7$, $q$$= 2$이므로 $p + q$$= 7 + 2$$= 9$