세 변의 중점으로 평행사변형의 꼭짓점 찾기

평행사변형에서 마주 보는 두 변의 중점은 두 대각선의 교점에 대하여 서로 대칭임을 이용한다. 두 대각선의 교점을 $\mathrm{M}$ 이라 하면 점 $\mathrm{M}$ 은 평행사변형의 대칭의 중심이므로 변 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{P}$ 와 변 $\mathrm{CD}$ 의 중점 $\mathrm{R}$ 는 점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 대칭이다. 즉 점 $\mathrm{M}$ 은 선분 $\mathrm{PR}$ 의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{2 + 4}{2} , \frac{1 + 5}{2} \right)$, 즉 $\mathrm{M} ( 3 , 3 )$ 변 $\mathrm{DA}$ 의 중점을 $\mathrm{S}$ 라 하면 점 $\mathrm{S}$ 는 점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 점 $\mathrm{Q}$ 와 대칭이므로 $\mathrm{S} ( 1 , 4 )$ $\mathrm{D} ( p , q )$ 라 하면 점 $\mathrm{C}$ 는 점 $\mathrm{R}$ 에 대하여 점 $\mathrm{D}$ 와 대칭이므로 $\mathrm{C} ( 8 - p , 10 - q )$ 점 $\mathrm{A}$ 는 점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 점 $\mathrm{C}$ 와 대칭이므로 $\mathrm{A} ( p - 2 , q - 4 )$ 점 $\mathrm{S} ( 1 , 4 )$ 는 선분 $\mathrm{DA}$ 의 중점이므로 $\displaystyle \frac{p + ( p - 2 )}{2} = 1$ 에서 $p = 2$, $\displaystyle \frac{q + ( q - 4 )}{2} = 4$ 에서 $q = 6$ 따라서 $\mathrm{D} ( 2 , 6 )$ 이고 $p ^{2} + q ^{2} = 4 + 36 = 40$