공통수학1이차방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사탕과 초콜릿 번호 규칙

문제

사탕과 초콜릿이 가득 들어 있는 상자가 있다. A\mathrm{A}학급의 학생들은 자신의 번호를 33으로 나누어 몫과 나머지를 구한 후, 몫의 수만큼 사탕을 가져가고 나머지의 수만큼 초콜릿을 가져가는 규칙을 세웠다. 이와 같은 규칙으로 A\mathrm{A}학급 학생들이 사탕과 초콜릿을 가져간 결과는 다음과 같다.

㈎ 학생들은 11번부터 번호 순서대로 빠짐없이 규칙에 따라 사탕과 초콜릿을 가져갔다. ㈏ 마지막 번호의 학생은 규칙에 따라 사탕만 가져갔다. ㈐ 학생들이 가져간 사탕과 초콜릿의 개수의 합은 175175개 이다.

마지막으로 사탕을 가져 간 학생의 번호와 학급의 학생 수가 같을 때, A\mathrm{A}학급의 학생수를 구하시오. (단, 자연수 nn에 대하여 1+2+3+⋯+n=n(n+1)2\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}이다.) [4점]

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30

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해설

[출제의도] 몫과 나머지를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기 학생의 마지막 번호를 NN이라 하자 규칙에 따른 몫과 나머지는 아래의 표와 같다.

R=0R = 0인 번호R=1R = 1인 번호R=2R = 2인 번호
1=3×0+11 = 3 \times 0 + 12=3×0+22 = 3 \times 0 + 2
3=3×1+03 = 3 \times 1 + 04=3×1+14 = 3 \times 1 + 15=3×1+25 = 3 \times 1 + 2
6=3×2+06 = 3 \times 2 + 07=3×2+17 = 3 \times 2 + 18=3×2+28 = 3 \times 2 + 2
⋮\vdots
3×(n−1)+03 \times ( n - 1 ) + 03×(n−1)+13 \times ( n - 1 ) + 13×(n−1)+23 \times ( n - 1 ) + 2
N=3×n+0N = 3 \times n + 0

사탕의 개수는 번호의 몫의 합이므로 R=0R = 0인 번호 1+2+3+⋯+n=n(n+1)2\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} R=1R = 1인 번호 1+2+3+⋯+(n−1)=(n−1)n2\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + ( n - 1 ) = \frac{( n - 1 ) n}{2} R=2R = 2인 번호 1+2+3+⋯+(n−1)=(n−1)n2\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + ( n - 1 ) = \frac{( n - 1 ) n}{2} 초콜릿의 개수는 번호의 나머지의 합이므로 R=0R = 0인 번호 0×n=00 \times n = 0 R=1R = 1인 번호 1×n=n1 \times n = n R=2R = 2인 번호 2×n=2n2 \times n = 2 n 따라서 가져간 사탕과 초콜릿의 총 개수는 n(n+1)2+(n−1)n2×2+3n=175\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{2} + \frac{( n - 1 ) n}{2} \times 2 + 3 n = 175(개) 3n2+5n−350=03 n ^{2} + 5 n - 350 = 0 (3n+35)(n−10)=0( 3 n + 35 ) ( n - 10 ) = 0 ∴n=10(n>0)\therefore n = 10 ( n > 0 )이고, N=30N = 30 ∴\therefore학생수는 30명

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