산술기하 오답 첨삭

다음은 실수 $a$, $b$에 대하여 $a > 0$, $b > 0$일 때, $\displaystyle \left( a + \frac{1}{b} \right) \left( b + \frac{4}{a} \right)$의 최솟값을 구하는 과정으로, 어떤 학생의 오답에 대한 선생님의 첨삭지도 일부이다.

<학생풀이> 2009년 ○○월 ○○일 산술평균과 기하평균의 대소관계를 적용하면 $\displaystyle a + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b}} \cdots$㉠ $\displaystyle b + \frac{4}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{4 b}{a}} \cdots$㉡ ㉠, ㉡의 양변을 각각 곱하면 $\displaystyle \left( a + \frac{1}{b} \right) \left( b + \frac{4}{a} \right) \geq 4 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{4 b}{a}} = 8 \cdots$㉢ 그러므로 구하는 최솟값은 $8$이다. <첨삭내용> ○ ○ ○ (인) ㉠의 등호가 성립할 때는 (가) 이고 ㉡의 등호가 성립할 때는 (나) 이다. 따라서 (가)와 (나)를 동시에 만족하는 양수 $a$, $b$는 존재하지 않으므로 최솟값은 8이 될 수 없다.

(가), (나)에 알맞은 것과 최솟값을 바르게 구한 것은? [4점] (가) (나) 최솟값 ①$a b = 1$ $a = 4 b$ $10$②$a b = 1$ $a b = 4$ $10$③$a = b$ $a = b$ $10$④$a = b$ $a b = 1$ $9$⑤$a b = 1$ $a b = 4$ $9$