공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

산술기하 부등식 보기

문제

x+y=2x + y = 2를 만족시키는 두 양수 x,yx , y에 대하여 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. xy≤1xy \leq 1 ㄴ. x2+y2≥2x ^{2} + y ^{2} \geq 2 ㄷ. 1x+1y≤1\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq 1

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ，ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 주어진 식의 값의 범위를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. x+y2≥xy\displaystyle \frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}　에서　xy≤1xy \leq 1 ㄴ.　x2+y2=(x+y)2−2xy=4−2xyx ^{2} + y ^{2} = ( x + y ) ^{2} - 2 xy = 4 - 2 xy에서 xy≤1xy \leq 1이므로 x2+y2≥2x ^{2} + y ^{2} \geq 2 ㄷ. 1x+1y=x+yxy=2xy≥2\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{2}{xy} \geq 2 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

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#산술기하평균#보기

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