산술·기하평균 수열

[출제의도] 두 수열을 수학적 귀납법으로 정의하고 두 수열의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. 산술기하평균의 성질 $\displaystyle \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$이므로 $\displaystyle a _{n+1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} \geq \sqrt{a _{n} b _{n}} = b _{n+1}$(참) ㄴ. $\displaystyle \frac{a _{n+1}}{b _{n+1}} = \frac{2}{\sqrt{a _{n} b _{n}}} = \sqrt{\frac{( a _{n} + b _{n} ) ^{2}}{4 a _{n} b _{n}}}$ $\displaystyle = \sqrt{\frac{a _{n} ^{2} + 2 a _{n} b _{n} + b _{n} ^{2}}{4 a _{n} b _{n}}} = \sqrt{\frac{2 + \frac{a _{n}}{b _{n}} + \frac{b _{n}}{a _{n}}}{4}}$ $\displaystyle = {\frac{\sqrt{\left( \sqrt{\frac{a _{n}}{b _{n}}} + \sqrt{\frac{b _{n}}{a _{n}}} \right) ^{2}}}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{a _{n}}{b _{n}}} + \sqrt{\frac{b _{n}}{a _{n}}}}{2}$ (참) ㄷ. 수열 $\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n+1} = a , \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n+1} = b$ 라 하면, $\displaystyle a _{n+1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}$에서 $\displaystyle a = \frac{a + b}{2} \cdots$① $\displaystyle b _{n+1} = \sqrt{a _{n} b _{n}}$에서 $\displaystyle b = \sqrt{ab} \cdots$ ② ①, ②를 연립해서 풀면 $a = b$이다.(참)