상용로그의 지표와 가수에 관한 명제 판별

$x$의 상용로그 값을 다음과 같이 나타내면 $\log x = n + \alpha$ ($0 \leq \alpha < 1$) 가. 지표가 $1$일 때 $\displaystyle 1 \leq \log x < \frac{3}{2}$ $\displaystyle 10 \leq x < 10 \sqrt{10} ( = 31.623 )$ 따라서, 자연수 $x$의 개수는 $22$개다. (참) 나. 지표가 $n$일 때 가수가 $\displaystyle \frac{1}{2}$보다 작은 자연수의 $x$의 개수 $a _{n}$은 $\displaystyle n \leq \log x < n + \frac{1}{2}$ $\displaystyle 10 ^{n} \leq x < 10 ^{n} \sqrt{10}$ $\displaystyle \therefore a _{n} = [ 10 ^{n} \sqrt{10} ] - 10 ^{n} + 1$ $\displaystyle = 10 ^{n} [ \sqrt{10} ] - 10 ^{n} + 1$ $= 2 \cdot 10 ^{n} + 1$ 가수가 $\displaystyle \frac{1}{2}$보다 큰 자연수 $x$의 개수 $b _{n}$은 $\displaystyle n + \frac{1}{2} < \log x < n + 1$ $\displaystyle 10 ^{n} \sqrt{10} < x < 10 ^{n+1}$ $\displaystyle \therefore b _{n} = 10 ^{n+1} - [ 10 ^{n} \sqrt{10} ] - 1$ $\displaystyle = 10 ^{n+1} - 10 ^{n} [ \sqrt{10} ] - 1$ $= 10 \cdot 10 ^{n} - 3 \cdot 10 ^{n} - 1$ $= 7 \cdot 10 ^{n} - 1$ 따라서, $a _{n} + b _{n} = ( 2 \cdot 10 ^{n} + 1 ) + ( 7 \cdot 10 ^{n} - 1 )$$= 9 \cdot 10 ^{n}$ (참) 다. [나]의 결과를 이용하면 $3 a _{n} - b _{n} + 100 = 3 ( 2 \cdot 10 ^{n} + 1 ) - ( 7 \cdot 10 ^{n} - 1 ) + 100$ $= - 10 ^{n} + 104$ 따라서, $n \geq 2$인 경우 음수가 된다. (거짓) 【다른 풀이】 나. 지표가 $n$일 때, 가수가 $\displaystyle \frac{1}{2}$보다 작은 자연수 $x$를 살펴보면, $\displaystyle n \leq \log x < n + \frac{1}{2}$ , $\displaystyle 10 ^{n} \leq x < 10 ^{n} \sqrt{10}$ 가수가 $\displaystyle \frac{1}{2}$보다 큰 자연수 $y$를 살펴보면, $\displaystyle n + \frac{1}{2} < \log y < n + {1}$ , $\displaystyle 10 ^{n} \cdot \sqrt{10} < y < 10 ^{n + 1}$ 이를 수직선에 각각 나타내면,

위의 그림에서 $\displaystyle \sqrt{10} \cdot 10 ^{n}$은 자연수가 아니므로 $a _{n} + b _{n} = 10 ^{n + 1} - 10 ^{n} = 9 \cdot 10 ^{n}$이다. (참)