상용로그 소수부분 방정식

$\log x = n + \alpha$ 라 하자.(단, $n$은 정수, $0 \leq \alpha < 1$) 준식에 대입해서 정리하면 $( n + \alpha ) ^{2} + \alpha ^{2} = 8$, $n ^{2} + 2 \alpha n + 2 \alpha ^{2} = 8$ $x > 1$이면서 $n$값은 정수이므로 $n = 0 , 1 , 2 , \cdots$ 등이 가능하다. i) $n = 0$인 경우 $\alpha ^{2} = 4$를 만족시키는 실수 $\alpha$는 존재하지 않는다. ii) $n = 1$인 경우 $2 \alpha ^{2} + 2 \alpha - 7 = 0$ $\displaystyle \rightarrow \alpha = \frac{- 1 \pm \sqrt{15}}{2}$ (주어진 $\alpha$의 범위를 만족시키지 않는다. iii) $n = 2$인 경우 $\alpha ^{2} + 2 \alpha - 2 = 0$ $\rightarrow$ $\displaystyle \alpha = - 1 + \sqrt{3}$($\because 0 \leq \alpha < 1$) $n \geq 3$인 경우 가수 조건을 만족시키는 $\alpha$는 존재하지 않는다. $\therefore$ $\displaystyle \log x = n + \alpha = 2 + ( - 1 + \sqrt{3} ) = 1 + \sqrt{3}$