대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

상용로그 소수 자리

문제

log⁡15A=30\log _{15} A = 30, log⁡45B=15\log _{45} B = 15인 두 자연수 AA, BB에 대하여 BA\displaystyle \frac{B}{A}를 소수로 나타내면 소수점 아래 nn째 자리에서 처음으로 00이 아닌 숫자가 나온다. 이때, nn의 값을 구하시오. (단, log⁡2=0.3010\log 2 = 0.3010) [3점]

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해설

log⁡15A=30→A=1530\log _{15} A = 30 \rightarrow A = 15 ^{30} log⁡45B=15→B=4515\log _{45} B = 15 \rightarrow B = 45 ^{15} ∴BA=45151530=(45225)15=(15)15\displaystyle \therefore \frac{B}{A} = \frac{45 ^{15}}{15 ^{30}} = \left( \frac{45}{225} \right) ^{15} = \left( \frac{1}{5} \right) ^{15} log⁡BA=15log⁡15=−15⋅log⁡5\displaystyle \log \frac{B}{A} = 15 \log \frac{1}{5} = - 15 \cdot \log 5 =−15log⁡102=−15(1−0.3010)\displaystyle = - 15 \log \frac{10}{2} = - 15 ( 1 - 0.3010 ) =−15⋅0.6990=−11+0.515= - 15 \cdot 0.6990 = - 11 + 0.515 ∴\therefore소수점 이하 11번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나온다.

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