대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

상용로그 지표와 가수

문제

$\log x$ 의 지표를 $f ( x )$ , 가수를 $g ( x )$ 라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $m , n$ 은 $1$ 보다 큰 자연수) [3점]

		<보기>

	ㄱ. $f ( x ^{m+n} ) = f ( x ^{m} ) + f ( x ^{n} )$ ㄴ. 모든 짝수 $a$ 에 대하여 $g ( a \cdot 5 ^{n} ) = 0$ 이 되는 자연수 $n$ 이 존재한다. ㄷ. $g ( x ) + g ( x ^{2} ) + \cdots + g ( x ^{n} ) = 1$ 이면 $\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{2} \log x = f ( x ) + f ( x ^{2} ) + \cdots + f ( x ^{n} ) + 1$ 이다.

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 추론하기 ㄱ.(반례) $x = 2 , m = 2 , n = 3$ 일 때 $f ( 2 ^{2+3} ) = f ( 32 ) = 1$ $f ( 2 ^{2} ) + f ( 2 ^{3} ) = f ( 4 ) + f ( 8 ) = 0$ (거짓) ㄴ.(반례) $a = 6$ 일 때 성립하지 않는다. (거짓) ㄷ. $\log x + \log x ^{2} + \cdots + \log x ^{n}$ $= f ( x ) + f ( x ^{2} ) + \cdots + f ( x ^{n} )$ $+ g ( x ) + g ( x ^{2} ) + \cdots + g ( x ^{n} )$ $\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{2} \mathit{\log} x = f ( x ) + f ( x ^{2} ) + \cdots + f ( x ^{n} ) + 1$ (참)

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