대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

상용로그 지표와 가수

문제

자연수 AA에 대하여 log⁡A\log A의 지표를 nn, 가수를 α\alpha라 할 때, n≤2αn \leq 2 \alpha가 성립하도록 하는 AA의 개수를 구하시오. (단, 3.1<10<3.2\displaystyle 3.1 < \sqrt{10} < 3.2) [4점]

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해설

가수 α\alpha의 범위는 0≤α<10 \leq \alpha < 1 이므로 (ⅰ) n=0n = 0일 때 n≤2αn \leq 2 \alpha에서 0≤α<10 \leq \alpha < 1이므로 따라서 만족하는 자연수 AA는 1,2,3,⋯ ,91 , 2 , 3 , \cdots , 9 이므로 99개다. (ⅱ) n=1n = 1일 때 1≤2α1 \leq 2 \alpha에서 12≤α<1\displaystyle \frac{1}{2} \leq \alpha < 1이므로 이때 3.1<10<3.2\displaystyle 3.1 < \sqrt{10} < 3.2 이므로 log⁡3.1<12<log⁡3.2\displaystyle \log 3.1 < \frac{1}{2} < \log 3.2 따라서 만족하는 자연수 AA는 32,33,34,⋯ ,9932 , 33 , 34 , \cdots , 99 이므로 6868개다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하고자 하는 자연수 AA의 개수는 9+68=779 + 68 = 77

태그

#상용로그#지표#가수

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