상용로그 지표와 가수

[출제의도] 지표와 가수의 성질을 활용하여 추론하기 $\log a = f \left( a \right) + g \left( a \right)$ ($f \left( a \right)$는 정수, $0 \leq g \left( a \right) < 1$) $\log b = f \left( b \right) + g \left( b \right)$ ($f \left( b \right)$는 정수, $0 \leq g \left( b \right) < 1$) (가)에 의하여 $\log a - \log b = 1$이므로 $g \left( a \right) = g \left( b \right)$이다. $\therefore$$f \left( a \right) - f \left( b \right) = 1$, $g \left( a \right) = g \left( b \right)$ $\cdots \cdots$㉠ (나)에서 (i) $g ( a ) = 0$일 때, $\displaystyle g \left( \frac{1}{a} \right) = 0$이므로 (나)를 만족한다. (ii) $0 < g \left( a \right) < 1$일 때, $\displaystyle g \left( \frac{1}{a} \right) = 1 - g \left( a \right)$이므로 $g \left( a \right) = 4 \left\{ 1 - g \left( a \right) \right\}$, $\displaystyle g \left( a \right) = \frac{4}{5}$ $\therefore$$g \left( a \right) = 0$ 또는 $\displaystyle g \left( a \right) = \frac{4}{5}$ $\cdots \cdots$㉡ (다)에 의하여 $f \left( a \right) = 3$이고 $\displaystyle g \left( b ^{2} \right) = \frac{3}{5}$ (i) $\displaystyle 0 \leq g \left( b \right) < \frac{1}{2}$일 때, $g \left( b ^{2} \right) = 2 g \left( b \right)$이므로 $\displaystyle g \left( b \right) = \frac{3}{10}$ (ii) $\displaystyle \frac{1}{2} \leq g \left( b \right) < 1$일 때, $g \left( b ^{2} \right) = 2 g \left( b \right) - 1$이므로 $\displaystyle g \left( b \right) = \frac{4}{5}$ $\therefore$$\displaystyle g \left( b \right) = \frac{3}{10}$ 또는 $\displaystyle g \left( b \right) = \frac{4}{5}$ $\cdots \cdots$㉢ ㉠, ㉡, ㉢ 에서 $f \left( a \right) = 3$, $f \left( b \right) = 2$, $\displaystyle g \left( a \right) = g \left( b \right) = \frac{4}{5}$ $\therefore$$\displaystyle a = 10 ^{\frac{19}{5}}$, $\displaystyle b = 10 ^{\frac{14}{5}}$ 따라서 $\displaystyle ab = 10 ^{\frac{33}{5}}$이므로 $m + n = 38$