대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

상용로그 지표 수열

문제

자연수 $n$ 에 대하여 상용로그 $\log 2 ^{n}$ 의 지표를 $a _{n}$ 이라 할 때, 수열 $\{ b _{n} \}$ 을 $\displaystyle b _{n} = \begin{cases} 1 ( a _{n+1} > a _{n} ) ( n = 1 , 2 , 3 , 4 , \cdots ) \\ \\ 0 ( a _{n+1} < a _{n} ) ( n = 1 , 2 , 3 , 4 , \cdots ) \end{cases}$ 으로 정의한다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{200} b _{k}$ 의 값은? (단, $\log 2 = 0.3010$ 이다.) [4점] ① $68$ ② $66$ ③ $64$ ④ $62$ ⑤ $60$

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⑤

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해설

[출제의도] 상용로그의 지표의 뜻과 주어진 수열의 항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\log 2 ^{201}$ $= 201 \log 2 = 201 0.3010 = 60.5010$ 이므로 $2 ^{201}$ 은 $61$ 자리의 자연수이다. 따라서 $1 \leq k \leq 60$ 인 모든 자연수 $k$ 에 대하여 $2 ^{n}$ 이 $k$ 자리의 수이고, $2 ^{n+1}$ 이 $k + 1$ 자리의 수인 자연수 $n$ 이 반드시 하나씩 대응한다. 따라서 $a _{n+1} > a _{n}$ 을 만족하는 자연수 $n$ 의 개수는 $60$ 이므로 $b _{n} = 1$ 을 만족하는 자연수 $n$ 의 개수는 $60$ 이고, 나머지 $n$ 에 대해서는 $b _{n} = 0$ 이다. ∴ $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{200} b _{k}$ $= 60$

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