대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

상용로그 지표 조건

문제

자연수 nn에 대하여 f(n)=(log⁡n의지표)f ( n ) = ( \log n \text{의} \text{지표} )일 때, 다음 두 조건을 만족시키는 nn의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점] (가) nn은 두 자리의 자연수이다. (나) log⁡3n−f(2n)<log⁡2\log 3 n - f ( 2 n ) < \log 2

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해설

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기 nn은 두 자리의 자연수이므로 f(n)=1f ( n ) = 1이고 log⁡n=1+α\log n = 1 + \alpha(0≤α<10 \leq \alpha < 1)라 하면 log⁡2n=1+log⁡2+α\log 2 n = 1 + \log 2 + \alpha이다. (ⅰ) 0≤log⁡2+α<10 \leq \log 2 + \alpha < 1인 경우 f(2n)=1f ( 2 n ) = 1이므로 10≤n≤4910 \leq n \leq 49이고 log⁡3n−1<log⁡2\log 3 n - 1 < \log 2에서 3n<203 n < 20이다. 따라서 두 자리의 자연수 nn은 없다. (ⅱ) 1≤log⁡2+α1 \leq \log 2 + \alpha안 경우 f(2n)=2f ( 2 n ) = 2이므로 50≤n≤9950 \leq n \leq 99이고 log⁡3n−2<log⁡2\log 3 n - 2 < \log 2에서 3n<2003 n < 200이다. 따라서 50≤n<2003\displaystyle 50 \leq n < \frac{200}{3}이 되어 만족시키는 자연수 nn의 범위는 50≤n≤6650 \leq n \leq 66이다. 그러므로 최댓값과 최솟값의 합은 116116이다.

태그

#상용로그#지표

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