상용로그 지표 같음

[출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이용하여 조건을 만족하는 자연수를 구한다. $\log 4 N$의 지표와 $\log N ^{2}$의 지표가 같으려면 $4 N$과 $N ^{2}$의 자리수가 같아야 한다. (ⅰ) $1 \leq 4 N < 10$이고 $1 \leq N ^{2} < 10$일 때, $N = 1$, $2$ (ⅱ) $10 \leq 4 N < 100$이고 $10 \leq N ^{2} < 100$일 때, $N =$$4$, $5$, …, $9$ (ⅲ) $100 \leq 4 N < 1000$이고 $100 \leq N ^{2} < 1000$일 때, $N =$$25$, $26$, …, $31$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족하는 $N$은 $1 , 2$, $4 , 5 , \cdots , 9$, $25 , 26 , \cdots , 31$ 이므로 $N$의 개수는 $15$이다. [참고] (ⅰ) $31 ^{2} = 961$, $32 ^{2} = ( 2 ^{5} ) ^{2} = 2 ^{10} = 1024$이므로 $N \geq 32$인 두 자리 자연수 $N$에 대하여 $4 N$은 세 자리의 자연수, $N ^{2}$은 네 자리의 자연수이므로 조건을 만족시키는 $N$은 존재하지 않는다. (ⅱ) $N$이 $n$자리수이면 $4 N$은 최대 $( n + 1 )$자리수이고, $N ^{2}$은 최소 $( 2 n - 1 )$자리수이다. 따라서 $n \geq 3$이면 $n + 1 < 2 n - 1$이므로 조건을 만족하는 자연수 $N$은 존재하지 않는다.