대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

상용로그 지표 가수

문제

다음 세 조건을 동시에 만족시키는 양의 실수 x,yx , y가 있다.

Ⅰ. log⁡10x2y3=12.5\log _{10} x ^{2} y ^{3} = 12.5이다. Ⅱ. xx와 yy의 상용로그의 정수부분은 같다. Ⅲ. xx와 1y\displaystyle \frac{1}{y}의 상용로그의 소수부분은 같다.

이 때, xy\displaystyle \frac{x}{y}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 상용로그의 정수부분과 소수부분을 이용하고 이를 활용하기 Ⅱ에서 log⁡x=n+α\log x = n + \alpha, log⁡y=n+β\log y = n + \beta라 하면 Ⅲ에 의해서 α+β=1\alpha + \beta = 1이다. 한편 Ⅰ에서 2(n+α)+3(n+β)=12.52 ( n + \alpha ) + 3 ( n + \beta ) = 12.5 5n+2+β=12.55 n + 2 + \beta = 12.5이므로 n=2n = 2, β=12=α\displaystyle \beta = \frac{1}{2} = \alpha이다. x=1052\displaystyle x = 10 ^{\frac{5}{2}}, y=1052\displaystyle y = 10 ^{\frac{5}{2}} ∴xy=1\displaystyle \frac{x}{y} = 1

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#상용로그#지표#가수

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