상용로그 지표 가수

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이해할 수 있는가 ? $\log x = n + \alpha$ ($n$은 정수, $0 \leq \alpha < 1$)이라 하면 $f ( x ) = n , g ( x ) = \alpha$이다. (가)에서 $3 g ( x ) = 3 \alpha$의 값이 정수이어야 하므로 $\alpha = 0$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{3}$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac{2}{3}$이다. (i) $\alpha = 0$일 때, $\log x ^{2} = 2 \log x = 2 n$이므로 $f ( x ^{2} ) =$$2 n$이다. 따라서 (나)에서 $f ( x ) + f ( x ^{2} ) = n + 2 n = 6$ ∴ $n = 2$ 따라서 $\log x = 2 + 0$이므로 $x = 10 ^{2}$ (ii) $\displaystyle \alpha = \frac{1}{3}$일 때, $\displaystyle \log x ^{2} = 2 \log x = 2 n + \frac{2}{3}$이므로 $f ( x ^{2} ) =$$2 n$이다. 따라서 (나)에서 $f ( x ) + f ( x ^{2} ) = n + 2 n = 6$ ∴ $n = 2$ 따라서 $\displaystyle \log x = 2 + \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle x = 10 ^{2 + \frac{1}{3}}$ (iii) $\displaystyle \alpha = \frac{2}{3}$일 때, $\displaystyle \log x ^{2} = 2 \log x = 2 n + \frac{4}{3} = 2 n + 1 + \frac{1}{3}$이므로 $f ( x ^{2} ) =$$2 n + 1$이다. 따라서 (나)에서 $f ( x ) + f ( x ^{2} ) = n + 2 n + 1 = 6$ ∴ $\displaystyle n = \frac{5}{3}$ 이때, $n$은 정수가 아니므로 모순이다. 따라서 주어진 조건을 만족시키는 모든 $x$의 값의 곱은 $\displaystyle 10 ^{2} \times 10 ^{2 + \frac{1}{3}} = 10 ^{4 + \frac{1}{3}} = 10 ^{\frac{13}{3}}$