대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

상용로그 정수부분

문제

xx보다 크지 않은 최대의 정수를 [x][ x ]로 나타낼 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. 1<a<101 < a < 10일 때, [log⁡100a]=2[ \log 100 a ] = 2이다. ㄴ. [log⁡x]=3[ \log x ] = 3인 정수 xx의 개수는 9×1039 \times 10 ^{3}이다. ㄷ. 자연수 nn에 대하여 [log⁡x]=n[ \log x ] = n이면 [log⁡x2]=2n[ \log x ^{2} ] = 2 n이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

ㄱ. 1<a<101 < a < 10에서 0<log⁡a<10 < \log a < 1이므로 log⁡100a=2+log⁡a\log 100 a = 2 + \log a ∴ [log⁡100a]=2[ \log 100 a ] = 2 (참) ㄴ. [log⁡x]=3[ \log x ] = 3이므로 103≤x<10410 ^{3} \leq x < 10 ^{4} 따라서, 정수 xx의 개수는 104−103=103(10−1)=9×10310 ^{4} - 10 ^{3} = 10 ^{3} ( 10 - 1 ) = 9 \times 10 ^{3} (참) ㄷ. log⁡x=n+α\log x = n + \alpha (0≤α<1)( 0 \leq \alpha < 1 ) 0≤α<12\displaystyle 0 \leq \alpha < \frac{1}{2}일 때, [log⁡x2]=2n[ \log x ^{2} ] = 2 n 12≤α<1\displaystyle \frac{1}{2} \leq \alpha < 1일 때, [log⁡x2]=2n+1[ \log x ^{2} ] = 2 n + 1 ∴ [log⁡x2]=2n[ \log x ^{2} ] = 2 n 또는 2n+12 n + 1 (거짓) 따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

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