상용로그 가수와 영역

[출제의도] 상용로그의 가수를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 최솟값을 구할 수 있는가? $n \geq - 2$인 정수에 대하여 $10 ^{n} \leq x \leq 10 ^{n + 1}$일 때, 함수 $y = 9 f \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 조건 (나)를 만족시키기 위해서는 (ⅰ) $n \geq - 1$인 정수일 때, $9 \leq a \times 10 ^{n} + b$, $a \times 10 ^{n + 1} + b < 0$ $\therefore - 10 ^{n} a + 9 \leq b < \mathit{-} 10 ^{n + 1} a$ 따라서 조건 (가)를 만족시키면서 위의 부등식을 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b \right)$가 나타내는 영역은 그림과 같다.

이때, $\left( a + 20 \right) ^{2} + b ^{2}$은 점 $\left( - 20 , 0 \right)$과 점 $\left( a , b \right)$ 사이의 거리의 제곱이다. 따라서 $n = \mathit{-} 1$일 때, 점 $\left( - 20 , 0 \right)$에서 직선 $b = \mathit{-} 10 ^{n} a + 9$까지의 거리의 제곱이 최소이므로 $\displaystyle \left( \frac{\left| 10 ^{- 1} \times \left( - 20 \right) - 9 \right|}{\sqrt{\left( 10 ^{- 1} \right) ^{2} + 1 ^{2}}} \right) ^{2} = \frac{121}{\frac{101}{100}} = 100 \times \frac{121}{101}$ (ⅱ) $n = \mathit{-} 2$일 때, $\displaystyle \frac{1}{100} a + b \geq 0$, $\displaystyle \frac{1}{10} a + b < 0$ $\displaystyle - \frac{1}{100} a \leq b < \mathit{-} \frac{1}{10} a$ 따라서 조건 (가)를 만족시키면서 위의 부등식을 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b \right)$가 나타내는 영역은 그림과 같다.

따라서 $\left( a + 20 \right) ^{2} + b ^{2}$의 값은 점 $\left( - 20 , 0 \right)$에서 위의 점 $\left( a , b \right)$까지의 거리의 제곱이므로 $\displaystyle \sqrt{\left( - 100 + 20 \right) ^{2} + 10 ^{2}} = 10 \sqrt{65}$ 보다 크게 된다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 최솟값은 $\displaystyle 100 \times \frac{121}{101}$이므로 $p + q$의 값은 $121 + 100 = 222$