상용로그 가수의 집합

$1 \leq n \leq 9$일 때, $\log n$의 지표는 $0$이므로 가수 $f ( n )$의 값은 $\log 1 , \log 2 , \log 3 , \cdots , \log 9 \cdots \cdots \text{㉠}$ 의 $9$개이고, 이들은 서로 다른 값이다. $10 \leq n \leq 99$일 때, $\log n$의 지표는 $1$이므로 가수 $f ( n )$의 값은 $\displaystyle \log \frac{10}{10} , \log \frac{11}{10} , \log \frac{12}{10} , \cdots , \log \frac{99}{10}$ $\cdots \text{㉡}$ 의 $90$개이고, 이들은 서로 다른 값이며, 이들 중 $\displaystyle \log \frac{10}{10} , \log \frac{20}{10} , \log \frac{30}{10} , \cdots , \log \frac{90}{10}$의 $9$개는 ㉠의 값과 중복된다. $100 \leq n \leq 150$일 때, $\log n$의 지표는 $2$이므로 가수 $f ( n )$의 값은 $\displaystyle \log \frac{100}{100} , \log \frac{101}{100} , \log \frac{102}{100} , \cdots , \log \frac{150}{100}$의 $51$개이고, 이들은 서로 다른 값이며, 이들 중 $\displaystyle \log \frac{100}{100} , \log \frac{110}{100} , \log \frac{120}{100} , \cdots , \log \frac{150}{100}$의 $6$개는 ㉠, ㉡의 값과 중복된다. 따라서 집합 $A$의 원소의 개수는 $9 + ( 90 - 9 ) + ( 51 - 6 ) = 135$(개)이다.