대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

상용로그 가수의 합

문제

log⁡x\log x의 가수 α\alpha가 0<α<14\displaystyle 0 < \alpha < \frac{1}{4}일 때, log⁡x2\log x ^{2}의 가수와 log⁡10x2\displaystyle \log \frac{\sqrt{10}}{x ^{2}}의 가수의 합은? [3점] ①11②12\displaystyle \frac{1}{2}③13\displaystyle \frac{1}{3}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤15\displaystyle \frac{1}{5}

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②

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해설

log⁡x\log x의 지표를 nn이라 하면 log⁡x=n+α\log x = n + \alpha (0<α<14)\displaystyle \left( 0 < \alpha < \frac{1}{4} \right) log⁡x2=2log⁡x\log x ^{2} = 2 \log x =2(n+α)= 2 ( n + \alpha )=2n+2α= 2 n + 2 \alpha(0<2α<12)\displaystyle \left( 0 < 2 \alpha < \frac{1}{2} \right) 이므로 log⁡x2\log x ^{2}의 가수는 2α2 \alpha log⁡10x2=12log⁡10−log⁡x2\displaystyle \log \frac{\sqrt{10}}{x ^{2}} = \frac{1}{2} \log 10 - \log x ^{2}=12−(2n+2α)\displaystyle = \frac{1}{2} - ( 2 n + 2 \alpha )=−2n+12−2α\displaystyle = - 2 n + \frac{1}{2} - 2 \alpha 0<2α<12\displaystyle 0 < 2 \alpha < \frac{1}{2}이므로 log⁡10x2\displaystyle \log \frac{\sqrt{10}}{x ^{2}}의 가수는 12−2α\displaystyle \frac{1}{2} - 2 \alpha 따라서 두 가수의 합은 2α+(12−2α)=12\displaystyle 2 \alpha + \left( \frac{1}{2} - 2 \alpha \right) = \frac{1}{2}

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