대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

상용로그 가수 조건

문제

정수부분이 세 자리인 양의 실수 xx에 대하여 log⁡10x\log _{10} x의 가수가 log⁡101x\displaystyle \log _{10} \frac{1}{x}의 가수의 2배일 때, log⁡10x+log⁡10x2+⋯+log⁡10x9\log _{10} x + \log _{10} x ^{2} + \cdots + \log _{10} x ^{9}의 값은? (단, log⁡10x\log _{10} x의 가수는 00이 아니다.) [4점] ①6060②9090③120120④150150⑤180180

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③

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해설

[출제의도] 가수의 성질을 이해하고 활용하기 log⁡10x\log _{10} x의 지표는 22이므로 log⁡10x=2+α\log _{10} x = 2 + \alpha (단, 0<α<10 < \alpha < 1)라 하면 log⁡101x=−log⁡10x=−2−α=−3+(1−α)\displaystyle \log _{10} \frac{1}{x} = - \log _{10} x = - 2 - \alpha = - 3 + ( 1 - \alpha ) 이 때, 주어진 조건으로부터 α=2(1−α)\alpha = 2 ( 1 - \alpha ) ∴ α=23\displaystyle \alpha = \frac{2}{3} 따라서, log⁡10x=83\displaystyle \log _{10} x = \frac{8}{3}이므로 (준식)=(1+2+⋯+9)log⁡10x=45log⁡10x=120= ( 1 + 2 + \cdots + 9 ) \log _{10} x = 45 \log _{10} x = 120

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