대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

상용로그 가수 조건

문제

자연수 NN에 대하여 N2N ^{2}이 7자리 수이고, log⁡N\log N의 가수는 log⁡1N\displaystyle \log \frac{1}{N}의 가수의 14\displaystyle \frac{1}{4}이다. log⁡N=qp\displaystyle \log N = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, log⁡N\log N의 가수는 0이 아니고, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

N2N ^{2}이 7자리수이므로 log⁡N2=6+α\log N ^{2} = 6 + \alpha (0<α<10 < \alpha < 1)이라 하면 log⁡N=3+α2\displaystyle \log N = 3 + \frac{\alpha}{2} log⁡1N=−log⁡N=−4+(1−α2)\displaystyle \log \frac{1}{N} = - \log N = - 4 + \left( 1 - \frac{\alpha}{2} \right) α2=14(1−α2)→α=25\displaystyle \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{\alpha}{2} \right) \rightarrow \alpha = \frac{2}{5} ∴log⁡N=3+15=165\displaystyle \therefore \log N = 3 + \frac{1}{5} = \frac{16}{5} p+q=5+16=21p + q = 5 + 16 = 21

태그

#상용로그#가수#지표

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