상용로그 가수 집합

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $\displaystyle \begin{aligned} \log \frac{1}{k ^{n}} = - n \log k = - n ( 1 + 0.08 ) \\ = - n \left( 1 + \frac{2}{25} \right) = - n - \frac{2 n}{25} \end{aligned}$ (ⅰ) $n = 1 , 2 , 3 , \cdots , 12$이면 $\displaystyle \log \frac{1}{k ^{n}}$의 가수는 $\displaystyle 1 - \frac{2 n}{25}$, (ⅱ) $n = 13 , 14 , 15 , \cdots , 24$이면 $\displaystyle \log \frac{1}{k ^{n}}$의 가수는 $\displaystyle 2 - \frac{2 n}{25}$, (ⅲ) $n = 25$이면 $\displaystyle \log \frac{1}{k ^{n}}$의 가수는 $0$, (ⅳ) $n \geq 26$에서는 $n = 1$, $2$, $3$, $\cdots$, $25$일 때의 가수가 반복하여 나타난다. 그러므로 집합 $X$의 원소의 개수는 $25$이다. 집합 $X$의 모든 원소의 합은 $\displaystyle 0 + \frac{1}{25} + \frac{2}{25} + \cdots + \frac{24}{25} = 12$