상용로그 가수 합

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이해하고 가수의 합을 구한다. ⅰ) $1 \leq k \leq 3$일 때, $1 \leq 2 ^{k} < 10$이므로 $\log 2 ^{k}$의 지표는 $0$이고, $f ( 2 ^{k} ) = \log 2 ^{k} = k \log 2$ ⅱ) $4 \leq k \leq 6$일 때, $10 \leq 2 ^{k} < 10 ^{2}$이므로 $\log 2 ^{k}$의 지표는 $1$이고, $f ( 2 ^{k} ) = \log 2 ^{k} - 1$$= k \log 2 - 1$ ⅲ) $7 \leq k \leq 9$일 때, $10 ^{2} \leq 2 ^{k} < 10 ^{3}$이므로 $\log 2 ^{k}$의 지표는 $2$이고, $f ( 2 ^{k} ) = \log 2 ^{k} - 2$$= k \log 2 - 2$ ⅳ) $k = 10$일 때, $10 ^{3} \leq 2 ^{k} < 10 ^{4}$이므로 $\log 2 ^{k}$의 지표는 $3$이고, $f ( 2 ^{k} ) = \log 2 ^{k} - 3$$= k \log 2 - 3$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} f ( 2 ^{k} )$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} k \log 2 - ( 1 \times 3 + 2 \times 3 + 3 \times 1 )$ $= 55 \log 2 - 12$ 이므로 $m = 55$, $n = 12$ 따라서 $m + n = 67$