상수함수 또는 항등함수가 되는 집합의 개수

실마리: 상수함수의 함숫값 $k$도 집합 $X$의 원소이므로 $f ( k ) = k$, 즉 $k$는 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = x$의 교점의 $x$좌표이다. 그래프에서 $f ( x ) = ( x - 3 ) ^{2} + 1 = x ^{2} - 6 x + 10$ $f ( x ) = x$에서 $x ^{2} - 7 x + 10 = 0$, $( x - 2 ) ( x - 5 ) = 0$이므로 $x = 2$ 또는 $x = 5$ (ⅰ) $f$가 항등함수인 경우 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f ( x ) = x$이므로 $X$는 집합 $\left\{ 2 , 5 \right\}$의 공집합이 아닌 부분집합이다. $\left\{ 2 \right\}$, $\left\{ 5 \right\}$, $\left\{ 2 , 5 \right\}$의 $3$개 (ⅱ) $f$가 상수함수인 경우 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f ( x ) = k$ ($k$는 $X$의 원소)라 하면 $f ( k ) = k$이므로 $k = 2$ 또는 $k = 5$ $k = 2$일 때 $f ( x ) = 2$에서 $x ^{2} - 6 x + 8 = 0$, $x = 2$ 또는 $x = 4$이므로 $X$는 $2$를 원소로 갖는 $\left\{ 2 , 4 \right\}$의 부분집합 $\left\{ 2 \right\}$, $\left\{ 2 , 4 \right\}$의 $2$개 $k = 5$일 때 $f ( x ) = 5$에서 $x ^{2} - 6 x + 5 = 0$, $x = 1$ 또는 $x = 5$이므로 $X$는 $5$를 원소로 갖는 $\left\{ 1 , 5 \right\}$의 부분집합 $\left\{ 5 \right\}$, $\left\{ 1 , 5 \right\}$의 $2$개 (ⅰ), (ⅱ)에서 $\left\{ 2 \right\}$, $\left\{ 5 \right\}$는 두 경우에 모두 들어 있다. 따라서 구하는 집합 $X$의 개수는 $3 + 4 - 2 = 5$