상자에 공 넣기 추론

[출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 추론한다. 네 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에 $n$개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는 공이 $5$개씩 모두 $20$개가 들어 있는 네 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 총 $20 - n$개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같다. (ⅰ) $n = 15$인 경우 공이 $5$개씩 모두 $20$개가 들어 있는 네 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 총 $5$개의 공을 꺼내는 경우의 수는 서로 다른 네 상자에서 $5$개를 택하는 중복조합의 수 $\mathrm{_{4}} \mathrm{H} _{5}$와 같으므로 $f ( 15 )$$= \mathrm{_{4}} \mathrm{H} _{5} = _{8} \mathrm{C} _{3}$$\displaystyle = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = {\square {56 ^{}}}$ (ⅱ) $n = 14$인 경우 공이 $5$개씩 모두 $20$개가 들어 있는 네 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 총 $6$개의 공을 꺼내는 경우의 수는 서로 다른 네 상자에서 $6$개를 택하는 중복조합의 수 $\mathrm{_{4}} \mathrm{H} _{6}$에서 서로 다른 네 상자 중 한 상자만 $6$번 택하는 경우의 수 $4$를 뺀 수와 같으므로 $f ( 14 )$$= \mathrm{_{4}} \mathrm{H} _{6} - {\square {4 ^{}}}$$= _{9} \mathrm{C} _{3} - 4$$\displaystyle = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} - 4 = 80$ (ⅲ) $n = 13$인 경우 공이 $5$개씩 모두 $20$개가 들어 있는 네 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 총 $7$개의 공을 꺼내는 경우의 수는 서로 다른 네 상자에서 $7$개를 택하는 중복조합의 수 $\mathrm{_{4}} \mathrm{H} _{7}$에서 서로 다른 네 상자 중 한 상자만 $7$번 택하는 경우의 수 $4$와 서로 다른 네 상자 중 서로 다른 두 상자를 각각 $1$번, $6$번 택하는 경우의 수 ${}_{4} \mathrm{P} _{2}$를 뺀 수와 같으므로 $f ( 13 )$$= \mathrm{_{4}} \mathrm{H} _{7} - 4 - _{4} \mathrm{P} _{2}$ $= _{10} \mathrm{C} _{3} - 4 - 12$ $= 120 - 16 = {\square {104 ^{}}}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $f ( 15 ) + f ( 14 ) + f ( 13 )$ $= {\square {56 ^{}}} + \left( {}_{4} \mathrm{H} _{6} - {\square {4 ^{}}} \right) + {\square {104 ^{}}} = 240$ 따라서 $p = 56$, $q = 4$, $r = 104$이므로 $p + q + r = 164$