확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

상자 선택 흰 구슬 확률

문제

다음 조건을 만족하는 상자가 $n$ ( $n \geq 2$ )개 있다.


	[상자 $1$ ] 흰 구슬 $1$ 개, 검은 구슬 $n - 1$ 개 [상자 $2$ ] 흰 구슬 $2$ 개, 검은 구슬 $n - 2$ 개 [상자 $3$ ] 흰 구슬 $3$ 개, 검은 구슬 $n - 3$ 개 ⋮ [상자 $n$ ] 흰 구슬 $n$ 개, 검은 구슬 $0$ 개

$n$ 개의 상자에서 임의로 한 상자를 택하여 $2$ 개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 모두 흰 구슬이 나올 확률을 ${\mathrm{P}} _{n}$ 이라 하자. ${\mathrm{P}} _{10}$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{19}{60}$ ② $\displaystyle \frac{1}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{7}{20}$ ④ $\displaystyle \frac{11}{30}$ ⑤ $\displaystyle \frac{23}{60}$

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④

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해설

[출제의도] 확률을 이용한 수학외적 문제해결하기 임의로 한 상자를 택하는 확률 : $\displaystyle \frac{1}{n}$ 상자에서 구슬 2개 꺼낼 때, 흰 구슬이 나올 확률 [상자1] 확률 : $0$ [상자2] 확률 : $\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}{{}_{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}$ [상자3] 확률 : $\displaystyle \frac{{}_{3} {\mathrm{C}} _{2}}{{}_{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}$ $\vdots$ [상자 $n$ ] 확률 : $\displaystyle \frac{{}_{n} {\mathrm{C}} _{2}}{{}_{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}$ $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} = \frac{1}{n} \times \frac{{}_{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} + _{3} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} + \cdots + _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}}{{}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}} = \frac{{}_{n + 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}}{n \cdot _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}}$ $\displaystyle = \frac{n + 1}{3 n}$ $\displaystyle {\mathrm{P} _{10} = \frac{11}{30}}$

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