상자 공 넣기 빈칸

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는 ‘(i) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우’에서 ‘(ii) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는 경우’와 ‘(iii) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우’를 제외하면 된다. (i)의 경우 : $n$명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는 $n$명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 $n$개의 상자를 선택하는 경우의 수인 ${\square {\left( \text{가} \right) _{3} {\mathrm{H}} _{n}}}$이다. (ii)의 경우 : 각 상자에 $\displaystyle \frac{2 n}{3}$개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 $1$이다. (iii)의 경우 : 두 상자 $A , B$에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 $C$ 에는 최대 $n$개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 $A , B$에 각각 $\displaystyle \frac{n}{2}$개보다 작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 $A , B$에 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는

의

개

수

위의 표와 같이 $A , B , C$ 세 상자 모두 공의 개수가 같은 것 포함하여 $\displaystyle {\square {\left( \text{나} \right) \frac{n}{2} + 1}}$이다. 그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 $\displaystyle \mathrm{_{3}} C _{2} \times \left( {\square {\left( \text{나} \right) \frac{\mathit{n}}{2} + 1}} - 1 \right)$이다. 따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 $\displaystyle {\square {\left( \text{다} \right) _{3} {\mathrm{H}} _{n} - \left( 1 + \frac{3 n}{2} \right)}}$이다. 이를 종합하면 $f ( n ) =$${}_{3} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$, $\displaystyle g ( n ) = \frac{n}{2} + 1$, $\displaystyle h ( n ) = _{3} {\mathrm{H}} _{n} - \left( 1 + \frac{3 n}{2} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{f ( 30 )}{g ( 30 )} + h ( 30 ) = \frac{{}_{3} {\mathrm{H}} _{30}}{\frac{30}{2} + 1} + _{3} {\mathrm{H}} _{30} - \left( 1 + \frac{3 \times 30}{2} \right)$ $=$$31 + 496 - ( 1 + 45 ) = 481$이다.