미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

상자 부피 최대

문제

[그림 1]과 같이 가로의 길이가 $12 \mathrm{cm}$ , 세로의 길이가 $6 \mathrm{cm}$ 인 직사각형 모양의 종이가 있다. 네 모퉁이에서 크기가 같은 정사각형 모양의 종이를 잘라 낸 후 남는 부분을 접어서 [그림 2]와 같이 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 이 상자의 부피의 최댓값을 $M$ $\mathrm{cm} ^{3}$ 이라 할 때, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} M$ 의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.) [4점]

[그림 1]

[그림 2]

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24

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 실생활문제 해결하기 잘라낸 정사각형의 한 변의 길이를 $x$ 라 하고 상자의 부피를 $V ( x )$ 라 하면 $V ( x )$ $= x ( 6 - 2 x ) ( 12 - 2 x )$ $( \text{단} , 0 < x < 3 )$ $V' ( x )$ $= 12 ( x ^{2} - 6 x + 6 ) = 0$ 이므로 $\displaystyle x = 3 - \sqrt{3}$ 에서 최댓값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle M = 24 \sqrt{3}$ 이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} M = 24$

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