기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사면체와 사각뿔 이면각

문제

그림과 같이 한 모서리의 길이가 22인 정사면체 ABCD\mathrm{ABCD}와 모든 모서리의 길이가 22인 사각뿔 G−EDCF\mathrm{G} - EDCF가 있다. 네 점 B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, D\mathrm{D}, G\mathrm{G}가 한 평면 위에 있을 때, 평면 ACD\mathrm{ACD}와 평면 EDCF\mathrm{E} DCF가 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 하자. cos⁡θ\cos \theta의 값은? [4점]

①36\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}②35\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{5}③34\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}④33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}⑤32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

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④

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해설

[출제의도] 두 평면의 위치 관계를 이해하여 이면각의 크기를 구한다.

평면 ACD\mathrm{A} CD와 평면 BCD\mathrm{B} CD가 이루는 예각을 α,\alpha , 평면 EDCF\mathrm{E} DCF와 평면 GDC\mathrm{G} DC가 이루는 예각을 β\beta라 하자. 모서리 CD\mathrm{C} D의 중점을 M\mathrm{M}, 점 A\mathrm{A}에서 삼각형 BCD\mathrm{B} CD에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}, 점 G\mathrm{G}에서 사각형 EDCF\mathrm{E} DCF에 내린 수선의 발을 I\mathrm{I}라 하면, A‾M=3\displaystyle \overline{\mathrm{A}} M = \sqrt{3}, H‾M=33\displaystyle \overline{\mathrm{H}} M = \frac{\sqrt{3}}{3}이므로 cos⁡α=13\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{3} M‾G=3\displaystyle \overline{\mathrm{M}} G = \sqrt{3}, MI‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{M} I} = 1이므로 cos⁡β=13\displaystyle \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{3}} 따라서 cos⁡θ\cos \theta=cos⁡(π−α−β)= \cos ( \pi - \alpha - \beta )=−cos⁡(α+β)= \mathit{-} \cos ( \alpha + \beta ) =−(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)= \mathit{-} ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) =−(133−433)\displaystyle = \mathit{-} \left( \frac{1}{3 \sqrt{3}} - \frac{4}{3 \sqrt{3}} \right)=33\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3}

태그

#이면각#공간도형

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