사면체와 내접원의 정사영

$\mathrm{\triangle} ABM \equiv \triangle ACM$ ($\mathrm{SAS}$합동)이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AC} = 6$ 마찬가지로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} = \overline{DM}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DM}} \perp \overline{BC}$이므로 $\mathrm{\triangle} ABC \equiv \triangle DBC$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DB}} = \overline{DC} = 6$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 4$이므로 삼각형 $\mathrm{ACD}$는 이등변삼각형이다. 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 선분 $\mathrm{AD}$의 중점을 $\mathrm{N}$, 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 내접원의 중심을 $\mathrm{O}$, 내접원의 반지름의 길이를 $r$, $\mathrm{\angle} DCN \mathit{=} \alpha$라 하면

$\displaystyle \mathrm{\overline{DN}} = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CN}}$$\displaystyle = \sqrt{6 ^{2} - 2 ^{2}}$$\displaystyle = 4 \sqrt{2}$ $\sin \alpha$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{DN}}}{\overline{CD}}$$\displaystyle = \frac{\mathit{r}}{\mathrm{\overline{OC}}}$, $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{r}{4 \sqrt{2} - r}$ $\displaystyle 4 \sqrt{2} - r = 3 r$ $\therefore$ $\displaystyle r = \sqrt{2}$ 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 내접원의 넓이를 $S _{1}$이라 하면 $S _{1}$$= 2 \pi$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{DM}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{AMD}$는 정삼각형이므로 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{DM}$의 중점이다. $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} = 2$ 점 $\mathrm{H}$에서 선분 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$라 하고 삼각형 $\mathrm{DMC}$에서 $\mathrm{\angle} CDM = \beta$라 하면

$\sin \beta$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{CM}}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{HE}}{DH}$, $\displaystyle \frac{2 \sqrt{5}}{6} = \frac{\mathrm{\overline{EH}}}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{EH}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ 두 평면 $\mathrm{ACD}$와 $\mathrm{BCD}$가 이루는 각을 $\theta$라 하면 $\mathrm{\angle} AEH = \theta$이므로 직각삼각형 $\begin{aligned} \mathrm{AHE} \\ \end{aligned}$에서

$\displaystyle \mathrm{\overline{AE}}$$\displaystyle = \mathrm{\sqrt{{\overline{AH}} ^{2} + {\overline{EH}} ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{\frac{128}{9}}$$\displaystyle = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$ $\therefore$ $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{EH}}}{\overline{AE}}$$\displaystyle = \frac{\frac{2 \sqrt{5}}{3}}{\frac{8 \sqrt{2}}{3}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{8}$ 이때 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 내접원의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이를 $S _{2}$라 하면 $S _{2}$$= S _{1} \times \cos \theta$$\displaystyle = 2 \pi \times \frac{\sqrt{10}}{8}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{4} \pi$