사면체 수선 벡터

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 △$\mathrm{OAB}$, △$\mathrm{CAB}$가 합동인 정삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} = \overline{CM}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} \perp \overline{AB}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CM}} \perp \overline{AB}$이므로 $\angle \mathrm{OMC}$의 크기는 평면 $\mathrm{OAB}$와 $\mathrm{CAB}$가 이루는 이면각의 크기 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$이다. 따라서 △$\mathrm{OCM}$은 정삼각형이다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = \overline{OM} = \mathit{a}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OG}} = \frac{2}{3} \overline{OM} \frac{= \mathit{2}}{3} a$ $\displaystyle \angle \mathrm{COM} = \frac{\pi}{3}$이므로 $\mathrm{\vec{OG}} \bullet \vec{OC}$$\displaystyle = \frac{2}{3} a \cdot a \cdot \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3} a ^{2}$ 그림에서 $\mathrm{H}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{CG}}$의 내분점이므로 $\mathrm{\vec{OH}} = \mathit{t} \vec{\mathrm{OG}} + ( 1 - t ) \vec{\mathrm{OC}}$를 만족하는 $t$ ($0 < t < 1$)가 존재한다. 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} \perp \overline{CG}$이므로 $\mathrm{\vec{OH}} \bullet \vec{CG}$$= 0$이다. $\mathrm{\vec{OH}} \bullet \vec{CG}$$= \mathrm{\vec{OH}} \bullet \left( \vec{OG} - \vec{OC} \right)$ $= \left( \mathit{t} \vec{\mathrm{OG}} + ( 1 - t ) \vec{\mathrm{OC}} \right) \bullet \left( \mathrm{\vec{OG}} - \vec{OC} \right)$ $= t \left| \vec{\mathrm{OG}} \right| ^{2} + ( 1 - 2 t ) \vec{\mathrm{OG}} \bullet \vec{\mathrm{OC}} - ( 1 - t ) \left| \vec{\mathrm{OC}} \right| ^{2}$ $\displaystyle = \frac{4}{9} a ^{2} t + ( 1 - 2 t ) \frac{1}{3} a ^{2} - ( 1 - t ) a ^{2}$$= 0$ $\displaystyle \frac{7}{9} t =$$\displaystyle \frac{2}{3}$에서 $\displaystyle t = \frac{6}{7}$ 그런데 $\mathrm{G}$는 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 무게중심이므로 $\displaystyle \mathrm{\vec{OG}} = \frac{1}{3} \left\{ \vec{OA} + \vec{OB} \right\}$ ∴ $\mathrm{\vec{OH}}$$\displaystyle = \frac{6}{7} \vec{\mathrm{OG}} + \frac{1}{7} \vec{\mathrm{OC}}$ $\displaystyle = \frac{2}{7} \vec{\mathrm{OA}} + \frac{2}{7} \vec{\mathrm{OB}} + \frac{1}{7} \vec{\mathrm{OC}}$ $\displaystyle = \frac{2}{7} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b} + \frac{1}{7} \vec{c}$ ∴ $\displaystyle p = \frac{2}{7}$, $\displaystyle q = \frac{2}{7}$, $\displaystyle r = \frac{1}{7}$ ∴ $28 ( p + q + r )$$\displaystyle = 28 \times \frac{5}{7}$$= 20$